Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數在內的單調性；

（Ⅱ）若存在正數，對于任意的，不等式恒成立，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時， 在內單調遞增，當時， 在內單調遞減，在內單調遞增.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求導數可得， ，根據的取值情況進行討論可得函數的單調性．（Ⅱ）在（Ⅰ）中結論的基礎上分和兩種情況討論求解，首先探求得到區間，通過對函數在此區間上單調性的討論進一步得到的符號，進而將不等式去掉絕對值后進行討論分析、排除，然后得到所求的范圍即可．

試題解析

（Ⅰ）由題意得， ，

因為，所以．

當時， ，此時在內單調遞增．

當時，由得，此時 單調遞減；

由得，此時 單調遞增．

綜上，當時， 在內單調遞增；

當時， 在內單調遞減，在內單調遞增.

（Ⅱ）①當時，

由（Ⅰ）可得在內單調遞增，且，

所以對于任意的， .

這時可化為，即.

設，

則，

令，得，

所以在單調遞減，且，

所以當時， ，不符合題意．

②當時，

由（Ⅰ）可得在內單調遞減，且，

所以存在，使得對于任意的都有.

這時可化為，即.

設，則.

（i）若，則在上恒成立，

這時在內單調遞減，且，

所以對于任意的都有，不符合題意.

（ii）若，令，得，

這時在內單調遞增，且，

所以對于任意的，都有，

此時取，則對于任意的，不等式恒成立.

綜上可得的取值范圍為.