Question

【題目】已知數列{bn}是首項b1=1，b4=10的等差數列，設bn+2=3log an（n∈n*）．
（1）求證：{an}是等比數列；
（2）記cn= ，求數列{cn}的前n項和Sn；
（3）記dn=（3n+1）Sn ， 若對任意正整數n，不等式 + +…+ ＞ 恒成立，求整數m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：b1=1，b4=10，可得

公差d= =3，bn=1+3（n﹣1）=3n﹣2；

bn+2=3log an=3n，

則an=（ ）n，

由 = ，

可得數列{an}是首項為 ，公比為 的等比數列；

（2）解：cn= = = （ ﹣ ），

則前n項和Sn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （1﹣ ）= ；

（3）解：dn=（3n+1）Sn=（3n+1） =n．

則問題轉化為對任意正整數n使

不等式 + +…+ ＞ 恒成立．

設 ，

則f（n+1）﹣f（n）=[ + +…+ ]﹣（ + +…+ ）

= + ﹣ = ＞0

所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值是f（1）= ，

由 ＜ 恒成立，即m＜12，

知整數m可取最大值為11．

【解析】（1）運用等差數列的通項公式，可得公差d=3，進而得到bn=3n﹣2，再由對數的運算性質和等比數列的定義，即可得證；（2）求得cn= = = （ ﹣ ），再由數列的求和方法：裂項相消求和即可得到所求和；（3）求得dn=（3n+1）Sn=（3n+1） =n．設 ，判斷為單調遞增，求得最小值f（1），再由恒成立思想可得m的范圍，進而得到最大值．