Question

【題目】在直角梯形中，，，，如圖1．把沿翻折，使得平面平面，如圖2．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若點為線段中點，求點到平面的距離；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得與平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）先證明平面，進而可得；

（Ⅱ）以點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，根據，即可求出結果；

（Ⅲ）先假設在線段上存在點，使得與平面所成角為，設，用表示，根據即可求出結果.

（Ⅰ）證明：由已知條件可得．

平面平面，平面．

平面．又平面，．

（Ⅱ）解：以點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖．由已知可得，，，，．

．

設平面的法向量為，則，∴

令，得平面的一個法向量為，

點到平面的距離．

（Ⅲ）假設在線段上存在點，使得與平面所成角為．

設，則，，

又平面的法向量且直線與平面所成角為，

，可得，（舍去）．

綜上，在線段上存在點，使與平面所成角為，此時．