Question

【題目】已知函數（）.

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）討論函數的極值點個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，只有一個極大值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點

【解析】

（1）將點坐標代入函數解析式，求得參數的值，代入導函數即可求得切線的斜率，進而求得切線方程.

（2）求得導函數并化簡變形，進而討論、、三種情況，結合函數的單調性即可確定極值情況.

（1）函數圖象過點，

代入可得，

∴解得.

代入函數可得，

則，

所以，

由點斜式可得切線方程為.

所以函數在點處的切線方程為.

（2）函數（）.

則，，

令，.

（�。┊�時，代入可得，

令，解得，

當，，所以函數在內單調遞增，

當時，，所以函數在時單調遞減，

因而只有一個極大值點

（ⅱ）當時，令，

由兩根之積為可知方程只有一個正根，

當時，，所以函數單調遞增，

當時，，所以函數單調遞減，

因而只有一個極大值點

（ⅲ）當時，令，有兩個正根，

	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

綜上可知，當時，只有一個極大值點；

當時，有一個極大值點和一個極小值點.