Question

【題目】已知數列的前項和為，且

（）求數列的通項公式；

（）若數列滿足，求數列的通項公式；

（）在（）的條件下，設，問是否存在實數使得數列是單調遞增數列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】⑴；⑵.

【解析】

試題（1）由遞推關系式消去，可得，數列為等比數列，且首項為，公比，所以．（2）由遞推得：

兩式相減得：又

當時,所以

（3） 因為

所以當時,

依據題意,有即

分類討論，為奇數或偶數，分離參數即可求出的取值范圍是

試題解析：⑴ 由得兩式相減,得

所以由又得

所以數列為等比數列，且首項為，公比，所以．

⑵ 由 ⑴ 知

由

得

故即

當時,所以

⑶ 因為

所以當時,

依據題意,有即

①當為大于或等于的偶數時,有恒成立．

又隨增大而增大,

則當且僅當時,故的取值范圍為

②當為大于或等于的奇數時,有恒成立,且僅當時,

故的取值范圍為

又當時,由

得

綜上可得,所求的取值范圍是