Question

【題目】已知函數，.

（1）若在區間上恒成立，求a的取值范圍.

（2）對任意，總存在唯一的，使得成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）討論與的大小去掉絕對值，然后分類討論討論導數符號研究函數在，的單調性，從而求出函數的最小值，使的最小值恒大于等于，求出的取值范圍；

（2）根據（1）的分類討論求出函數的最小值，使的最小值恒小于等于的最小值，從而求出的取值范圍．

（1）①當時，，，，恒成立，

在，上增函數，故當時，（e）

②當時，，，

當即時，在時為正數，所以在區間，上為增函數，

故當時，，且此時

當，即時，在時為負數，在間，時為正數，

所以在區間，上為減函數，在，上為增函數，故當時，，

且此時（e）

當，即時，在時為負數，所以在區間，上為減函數，

故當時，（e）

綜上所述，函數的最小值為

所以當時，得；當時，無解；

當時，得不成立．

綜上，所求的取值范圍是

（2）①當時，在，單調遞增，需滿足，

解得

②當時，在，先減后增，需滿足，即

因為單調遞減，所以

因此

③當時，在遞增，在遞減，在，遞增，

所以需滿足，即，

設，

則，，所以遞增，且，

所以恒成立，即不成立，舍去．

④當時，在遞增，在遞減，在，遞增，

所以需滿足即，

因為，所以不成立，舍去．

綜上，所求的取值范圍是