Question

【題目】已知集合，且中的元素個數大于等于5.若集合中存在四個不同的元素，使得，則稱集合是“關聯的”，并稱集合是集合的“關聯子集”；若集合不存在“關聯子集”，則稱集合是“獨立的”.

分別判斷集合和集合是“關聯的”還是“獨立的”？若是“關聯的”，寫出其所有的關聯子集；

已知集合是“關聯的”，且任取集合，總存在的關聯子集，使得.若，求證：是等差數列；

集合是“獨立的”，求證：存在，使得.

Answer 1

【答案】是關聯的，關聯子集有；是獨立的；

證明見解析；

證明見解析

【解析】

（1）根據題中所給的新定義，即可求解；

（2）根據題意，，，，， ，進而利用反證法求解；

（3）不妨設集合，，且.

記，進而利用反證法求解；

解:是“關聯的”關聯子集有;

是“獨立的”

記集合的含有四個元素的集合分別為:

，，，，

.

所以，至多有個“關聯子集”.

若為“關聯子集”，則不是 “關聯子集”，否則

同理可得若為“關聯子集”，則不是 “關聯子集”.

所以集合沒有同時含有元素的“關聯子集”，與已知矛盾.

所以一定不是“關聯子集”

同理一定不是“關聯子集”.

所以集合的“關聯子集”至多為.

若不是“關聯子集”，則此時集合一定不含有元素的“關聯子集”，與已知矛盾；

若不是“關聯子集”，則此時集合一定不含有元素的“關聯子集”，與已知矛盾；

若不是“關聯子集”，則此時集合一定不含有元素的“關聯子集”，與已知矛盾；

所以都是“關聯子集”

所以有，即

，即.

，即，

所以.

所以是等差數列.

不妨設集合，，且.

記.

因為集合是“獨立的”的，所以容易知道中恰好有個元素.

假設結論錯誤，即不存在，使得

所以任取，，因為，所以

所以

所以任取，

任取，

所以，且中含有個元素.

(i)若，則必有成立.

因為，所以一定有成立.所以.

所以

，，

所以，所以，有矛盾，

(ii)若，

而中含有個元素，所以

所以，

因為，所以.

因為，所以

所以

所以，矛盾.

所以命題成立.