Question

【題目】已知a＞0，b＞0，且a2+b2= ，若a+b≤m恒成立，
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b對任意的a，b恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2= ，

∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，

∴a+b≤3，（當且僅當 ，即 時取等號）

又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．

故m的最小值為3．

（Ⅱ）要使2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，須且只須2|x﹣1|+|x|≥3．

∴ 或 或

∴ 或 ．

【解析】（Ⅰ）變形已知表達式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；（Ⅱ）通過2|x﹣1|+|x|≥a+b對任意的a，b恒成立，結合（Ⅰ）的結果，利用x的范圍分類討論，求出實數x的取值范圍．