Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形， ， ， 平面， ， .

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意及圖可得，先由條件證得，再根據，再由線面垂直的判定定理即可證得線面垂直；（2）解法一：由（1）知， ，可得出，結合平面，知兩兩垂直，因此可以為坐標原點，分別以， ， 所在的直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，不妨設，表示出各點的坐標，再求出兩個平面的法向量的坐標，即可由公式求出二面角的余弦值；解法二：取的中點，連接，由于，因此，又平面， 平面，可證明出為二面角的平面角，再解三角形即可求出二面角的余弦值．

試題解析：（1）因為四邊形是等腰梯形， ，

，所以.

又，所以，

因此， ，

又，且， 平面，

所以平面.

（2）解法一：由（1）知，所以

又平面，因此兩兩垂直，以為坐標原點，分別以， ， 所在的直線為軸， 軸， 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則， ， ，

因此，

設平面的法向量為

由于，取，則，

由于是平面的一個法向量，則

所以二面角的余弦值為.

解法二：如圖，取的中點，連接

由于，因此，

又平面， 平面，

所以，

由于， 平面,

所以平面，故，所以為二面角的平面角

在等腰三角形中，由于，

因此，

又，所以，

故，因此二面角的余弦值為.