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【題目】已知，是的中點．

（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；

（2）若是線段上任意一點，且，求的最小值；

（3）若點是內一點，且，求的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）根據向量數量積等于，可得，以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，根據向量加法、減法以及數量積的坐標表示即可求向量的夾角.

（2）以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，設，利用向量數量積的坐標表示即可求解.

（3）設，可得，利用向量的數量積可得，，再將平方，根據向量數量積定義以及基本不等式即可求解.

（1）因為，所以，

以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系．

令，則，

所以，

設向量，與向量的夾角為，

，

（2）因為，所以，

以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系．

因為，則，

設

，

當且僅當時，的最小值是．

（3）設，

，

同理：，

當且僅當時，所以．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對某校高三年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組

頻數

頻率

[10，15）

10

0.25

[15，20）

24

n

[20，25）

m

p

[25，30）

2

0.05

合計

M

1

（1）求出表中M，p及圖中a的值；

（2）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[10，15）內的人數；

（3）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區服務次數在區間[25，30）內的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓左焦點的直線與橢圓交于兩點，直線過坐標原點且直線與的斜率互為相反數，直線與橢圓交于兩點且均不與點重合，設直線的斜率為，直線的斜率為.證明： 為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了配合新冠疫情防控，某市組織了以“停課不停學，成長不停歇”為主題的“空中課堂”，為了了解一周內學生的線上學習情況，從該市中抽取1000名學生進行調査，根據所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）為了估計從該市任意抽取的3名同學中恰有2人線上學習時間在[200,300）的概率，特設計如下隨機模擬的方法：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，依次用0,1,2,3，…9的前若干個數字表示線上學習時間在[200,300）的同學，剩余的數字表示線上學習時間不在[200,300）的同學；再以每三個隨機數為一組，代表線上學習的情況．

假設用上述隨機模擬方法已產生了表中的30組隨機數，請根據這批隨機數估計概率的值；

907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556

438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231

（2）為了進一步進行調查，用分層抽樣的方法從這1000名學生中抽出20名同學，在抽取的20人中，再從線上學習時間[350,450）（350分鐘至450分鐘之間）的同學中任意選擇兩名，求這兩名同學來自同一組的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了研究黏蟲孵化的平均溫度（單位： ）與孵化天數之間的關系，某課外興趣小組通過試驗得到如下6組數據：

組號

1

2

3

4

5

6

平均溫度

15.3

16.8

17.4

18

19.5

21

孵化天數

16.7

14.8

13.9

13.5

8.4

6.2

他們分別用兩種模型①，②分別進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖：

經計算得，

（1）根據殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）殘差絕對值大于1的數據被認為是異常數據，需要剔除，剔除后應用最小二乘法建立關于的線性回歸方程.（精確到0.1）

，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，，若函數有三個不同的零點，，（其中），則的取值范圍為__________．

【答案】

【解析】如圖：

，，作出函數圖象如圖所示

，，作出函數圖象如圖所示

，由有三個不同的零點

，如圖

令

得

為滿足有三個零點，如圖可得

，

點睛：本題考查了函數零點問題，先由導數求出兩個函數的單調性，繼而畫出函數圖像，再由函數的零點個數確定參量取值范圍，將問題轉化為函數的兩根問題來求解，本題需要化歸轉化，函數的思想，零點問題等較為綜合，有很大難度。

【題型】填空題
【結束】
17

【題目】已知等比數列的前項和為，且滿足.

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列滿足，求數列的前項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖一塊長方形區域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在邊AD的中點O處,有一個可轉動的探照燈,其照射角∠EOF始終為,設∠AOE=,探照燈O照射在長方形ABCD內部區域的面積為S.

(1)當0≤時,寫出S關于的函數表達式;

(2)若探照燈每9分鐘旋轉“一個來回”(OE自OA轉到OC,再回到OA,稱“一個來回”,忽略OE在OA及OC反向旋轉時所用時間),且轉動的角速度大小一定,設AB邊上有一點G,且∠AOG,求點G在“一個來回”中,被照到的時間.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某地區工會利用 “健步行”開展健步走積分獎勵活動．會員每天走5千步可獲積分30分(不足5千步不積分)，每多走2千步再積20分（不足2千步不積分）．記年齡不超過40歲的會員為類會員，年齡大于40歲的會員為類會員．為了解會員的健步走情況，工會從兩類會員中各隨機抽取名會員，統計了某天他們健步走的步數，并將樣本數據分為， ， ， ， ， ， ， ， 九組，將抽取的類會員的樣本數據繪制成頻率分布直方圖， 類會員的樣本數據繪制成頻率分布表（圖、表如下所示）．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）從該地區類會員中隨機抽取名，設這名會員中健步走的步數在千步以上（含千步）的人數為，求的分布列和數學期望；

（Ⅲ）設該地區類會員和類會員的平均積分分別為和，試比較和的大�。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）．

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