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【題目】已知橢圓的離心率為，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓左焦點的直線與橢圓交于兩點，直線過坐標原點且直線與的斜率互為相反數，直線與橢圓交于兩點且均不與點重合，設直線的斜率為，直線的斜率為.證明： 為定值．

【答案】（1）；（2）定值為

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據橢圓的離心率為,且過點，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得結果；（Ⅱ）設,聯立,消去得,,利用斜率公式以及韋達定理，化簡可得則，所以為定值.

試題解析：（Ⅰ）由題可得,解得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題知直線斜率存在,設.

聯立,消去,

由題易知恒成立,由韋達定理得,

因為與斜率相反且過原點,

設, ,

聯立,

消去得,

由題易知恒成立,

由韋達定理得,

則

，所以為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】四棱錐的底面為直角梯形，，，，為正三角形.

（1）點為棱上一點，若平面，，求實數的值；

（2）求點B到平面SAD的距離.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由平面，可證，進而證得四邊形為平行四邊形，根據，可得；

（2）利用等體積法可求點到平面的距離.

試題解析：（（1）因為平面SDM，

平面ABCD，

平面SDM 平面ABCD=DM，

所以，

因為，所以四邊形BCDM為平行四邊形，又，所以M為AB的中點.

因為，

.

（2）因為 ， ，

所以平面，

又因為平面，

所以平面平面，

平面平面，

在平面內過點作直線于點，則平面，

在和中，

因為，所以，

又由題知，

所以，

由已知求得，所以，

連接BD，則，

又求得的面積為，

所以由點B 到平面的距離為.

【題型】解答題
【結束】
19

【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵12元.

（1）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪（單位：元）與送貨單數的函數關系式；

（2）根據該公司所有派送員100天的派送記錄，發現派送員的日平均派送單數與天數滿足以下表格：

日均派送單數

52

54

56

58

60

頻數（天）

20

30

20

20

10

回答下列問題：

①根據以上數據，設每名派送員的日薪為（單位：元），試分別求出這100天中甲、乙兩種方案的日薪平均數及方差；

②結合①中的數據，根據統計學的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由.

（參考數據： ， ， ， ， ， ， ， ， ）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知等比數列的公比，前項和為，且滿足.，，分別是一個等差數列的第1項，第2項，第5項.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，求數列的前項和；

（3）若，的前項和為，且對任意的滿足，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，曲線在處的切線經過點.

（1）證明： ；

（2）若當時， ，求的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先根據導數幾何意義得切線斜率為，再根據切線過點，解得導數可得導函數零點，列表分析導函數符號變號規律可得函數單調性，根據函數單調性可得函數最小值為0，即得結論，（2）先化簡不等式為，分離得，再利用導數求函數單調性，利用羅伯特法則求最大值，即得的取值范圍.

試題解析：（1）曲線在處的切線為，即

由題意得，解得

所以

從而

因為當時， ，當時， .

所以在區間上是減函數，區間上是增函數，

從而.

（2）由題意知，當時， ，所以

從而當時， ，

由題意知，即，其中

設，其中

設，即，其中

則，其中

（1）當時，因為時， ，所以是增函數

從而當時， ，

所以是增函數，從而.

故當時符合題意.

（2）當時，因為時， ，

所以在區間上是減函數

從而當時，

所以在上是減函數，從而

故當時不符合題意.

（3）當時，因為時， ，所以是減函數

從而當時，

所以是減函數，從而

故當時不符合題意

綜上的取值范圍是.

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】在直角坐標坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），曲線： .以為極點， 軸的非負半軸為極軸，與直角坐標系取相同的長度單位，建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）射線（）與曲線的異于極點的交點為，與曲線的交點為，求.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列命題中，選項正確的是（ ）

A. 在回歸直線中，變量時，變量的值一定是15

B. 兩個變量相關性越強，則相關系數就越接近于1

C. 在殘差圖中，殘差點比較均勻落在水平的帶狀區域中即可說明選用的模型比較合適，與帶狀區域的寬度無關

D. 若某商品的銷售量（件）與銷售價格（元/件）存在線性回歸方程為，當銷售價格為10元時，銷售量為100件左右

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數的部分圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（　�。�

A. 函數的圖象關于點對稱

B. 函數的圖象關于直線對稱

C. 函數的最小正周期為

D. 當時，函數的圖象與直線圍成的封閉圖形面積為

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中， ，且平面， 為棱的中點．

(1)求證： ∥平面;

(2)求證：平面平面;

(3)當四面體的體積最大時，判斷直線與直線是否垂直，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，是的中點．

（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；

（2）若是線段上任意一點，且，求的最小值；

（3）若點是內一點，且，求的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】m為何值時，.

(1)有且僅有一個零點；

(2)有兩個零點且均比－1大．

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