Question

【題目】一大學生自主創業，擬生產并銷售某電子產品萬件（生產量與銷售量相等），為擴大影響進行促銷，促銷費用（萬元）滿足（其中為正常數）．已知生產該產品還需投入成本萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為元/件.

（1）將該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；

（2）促銷費用投入多少萬元時，此大學生所獲利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，投入4萬元時，利潤最大；當時，投入萬元時，利潤最大.

【解析】試題分析: （1）利用銷售收入與成本的差，結合即可該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；（2）由（1）可得

，討論、，分別利用導數研究函數的單調性，從而可得結果.

試題解析：（1）由題意知， 將代入化簡得：

.

（2）

令

故在單調遞減， 單調遞增，

所以萬元，當且僅當取得.

當時，促銷費用投入4萬元時，該大學生獲得的利潤最大，最大為萬元；

當時，函數在上單調遞增，

∴時，函數有最大值．即促銷費用投入萬元時，該大學生獲得的利潤最大，最大為萬元.