Question

【題目】如圖，橢圓：的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，當直線平行軸時，直線被橢圓截得的線段長為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為坐標原點，是否存在常數，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）由橢圓的離心率為，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，列出方程組求出，由此能求出橢圓的方程；

（2）當直線的斜率存在時，設直線為，與橢圓聯立得，

，由此利用根的判別式，韋達定理，向量的數量積，結合已知條件推出為定值，當直線的斜率不存在時，

,從而得到答案.

（1）解：由題設知，，，

設橢圓方程為，令，得，∴，

解得，所以橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，的坐標分別為，，聯立得，

其判別式，所以，.

從而

，

所以，當，即時，.

此時，為定值.

當直線斜率不存在時，此時，，

∴.

故存在常數，使得為定值.