[題目]已知函數. .(1)求函數的單調區間,(2)當時.對任意的.存在.使得成立.試確定實數m的取值范圍. 題目和參考答案——青夏教育精英家教網—

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【題目】已知函數， .

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，對任意的，存在，使得成立，試確定實數m的取值范圍.

【答案】（1）當時，的單調遞增區間是，無遞減區間；當時，的單調遞增區間是，遞減區間是；（2）.

【解析】

（1）求得的導函數，對分成和兩種情況，討論函數的單調區間.

（2）將問題轉化為，利用導數求得的最小值，結合（1）對分成三種情況進行分類討論，求得的最小值.從而確定的取值范圍.

（1）由，得.當時，，所以的單調遞增區間是，沒有減區間.當時，由，解得；由，解得，所以的單調遞增區間是，遞減區間是.綜上所述，當時，的單調遞增區間是，無遞減區間；當時，的單調遞增區間是，遞減區間是.

（2）當時，對任意，存在，使得成立，只需成立.

由，得.令，則.所以當時，，當時，.所以在上遞減，在上遞增，且，所以.所以，即在上遞增，所以在上遞增，所以.

由（1）知，當時，在上遞增，在上遞減，

①當即時，在上遞減，；

②當即時，在上遞增，在上遞減，，由，

當時，，此時，

③當即時，在上遞增，，

所以當時，，

由，得

當時，，

由，得．

．綜上，所求實數m的取值范圍是．

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