Question

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長都為是的中點，在邊上，.

（1）證明:平面平面；

（2）若是側面內的動點，且平面.

①在答題卡中作出點的軌跡，并說明軌跡的形狀(不需要說明理由)；

②求二面角的余弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①取的中點，的中點，連接，則點的軌跡就是線段；②.

【解析】

（1）證出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證出面面垂直.

（2）①取的中點，的中點，連接，可得點的軌跡；②以、所在的直線為軸、軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，利用空間向量的數量積即可求解.

（1）在正三棱柱中，因為平面，平面，

所以.

在等邊中，是的中點，所以.

又,所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）①取的中點，的中點，連接，則點的軌跡就是線段.

②由圖可知當點與點重合時，二面角的余弦值取到最大值.

以、所在的直線為軸、軸建立空間直角坐標系.

則，，，，，，

設平面的一個法向量為.

由得

令，解得.

所以.

設平面的一個法向量為

由得令，解得.

所以.

因此.

故二面角的余弦值得最大值為.