Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在內為增函數，求實數的取值范圍；

（2）若函數在內恰有兩個零點，求實數的取值范圍；

（3）已知，試估算的近似值，（結果精確到0.001）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）的近似值約為1.609

【解析】

（1）由題,先求導可得,由在內為增函數可得在上恒成立,即,設,利用導數判斷的單調性,即可求得,進而得解；

（2）由題求導可得,分別討論與情況下的單調性,進而由在內恰有兩個零點,結合的單調性,求解的范圍；

（3）由（1）可知當時,在內為增函數,則,即在內恒成立,再由（2）可知當時,在內為減函數,則,即在內恒成立,進而可得在內恒成立,在內找到關于與的數,即可令,則,進而代入中求解即可.

解:（1）由題,,

,

在內為增函數,

在上恒成立,即,

令,則,所以在內為增函數,

所以.

（2）由題,,

,

①當時,,則,在內為增函數,

,則當時,,

在內有且只有一個零點,不符合題意；

②當時,設,則,在內為減函數,

且,,

（i）當,時,,在內為增函數,

,則當時,,在內有且只有一個零點,不符合題意；

（ii）當時,,,

,使得,則在內為增函數,在內為減函數,

則,則在內有且只有一個零點,當且僅當,

解得；

（iii）當,時,,在內為減函數,

,則當時,,在內有且只有一個零點,不符合題意,

綜上所述,.

（3）由（1）可知,當時,在內為增函數,

所以,即在內恒成立,

由（2）可知,當時,在內為減函數,

所以,即在內恒成立,

綜上,有,即在內恒成立,

令,則有,

可得,即,

則,

解得,

所以的近似值約為1.609.