Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線過點，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數在區間上的最大值；

（3）若函數有兩個不同的零點，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）;（2）①當時，；②當時，

③當時，;（3）詳見解析．

【解析】

試題（1）因為點在曲線上，所以，解得，利用導數求得斜率為，故切線為；（2），將分成四類，討論函數的單調區間進而求得最大值；（3）不妨設，因為，所以，，要證明，即證明，令，即證，令（），利用導數求得的最小值大于零即可.

試題解析：

（1）因為點在曲線上，所以，解得．

因為，所以切線的斜率為0，

所以切線方程為．

（2）因為，

①當時，，，

所以函數在上單調遞增，則；

②當，即時，，，

所以函數在上單調遞增，則；

③當，即時，

函數在上單調遞增，在上單調遞減，

則；

④當，即時，，，

函數在上單調遞減，則．

綜上，當時，；

當時，；

當時，．

（3）不妨設，

因為，

所以，，

可得，，

要證明，即證明，也就是，

因為，

所以即證明，

即，

令，則，于是，

令（），

則，

故函數在上是增函數，

所以，即成立，所以原不等式成立．