Question

【題目】已知橢圓的離心率，焦距為2，直線與橢圓交于，兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線過橢圓的右焦點，且，求直線方程；

（3）設為坐標原點，直線，的斜率分別為，，若，求面積的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據橢圓的離心率和焦距確定基本量，從而得到橢圓的方程；

（2）設出直線的待定系數方程，與橢圓方程聯立，根據線段長度關系得到點的縱坐標的關系求解；

（3）聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理得到三角形的面積的表達式，化簡得到結論，注意對直線的斜率情況分類討論.

解：（1）設橢圓的焦距為，則由，

則.

（2）若直線斜率為，

則，不合題意，

所以斜率不為，設其方程為，

聯立，

設，，

則，，

又

，

故直線.

（3）當直線的斜率為0時，則，不妨設，

由，得，

直線方程與橢圓方程聯立，

，整理得，

所以坐標分別為，或，，

此時；

當直線的斜率不為0時，設直線，

聯立，

則，，

∵，

又，

∴，

化簡得，

從而，

∴.

綜上，的面積.