Question

【題目】已知扇環如圖所示，是扇環邊界上一動點，且滿足，則的取值范圍為_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立直角坐標系，易知，分以下四種情況討論：（1）當點在上運動時；（2）當點在上運動時；（3）當點在上運動時；（4）當點在上運動時.（1）（2）根據點P的坐標范圍可得出x和y的范圍，從而可求的范圍；（3）（4）同理，可利用圓的的參數方程表示，從而得到的三角函數表達式，根據輔助角公式即可得到結果.

以為坐標原點，以為軸建立平面直角坐標系，易知，

（1）當點在上運動時，向量與共線，顯然，

此時，因為點在上，

其橫坐標滿足：，所以；

（2）當點在上運動時，向量與共線，顯然，

此時，因為點在上，

其橫坐標滿足：，

則，所以；

（3）當點在上運動時，設，

由，得，

即，可得，

變形可得，其中，

因為是扇環邊界上一動點，且滿足，所以均為非負實數，

，因為，

所以當時，取得最大值，的最大值為，

由，所以當時，取得最大角，

此時取得最小值，即，

所以，的最小值為1；

（4）同理可得當點在上運動時，因為，

故的最大值為，最小值為.

綜上所述，.

【點晴】

本題考查平面向量的綜合應用，解題的關鍵是三角恒等變形、分類討論思想以及數形結合的應用，屬難題.