Question

【題目】若對于定義在上的函數，其圖象是連續不斷的，且存在常數使得對任意實數都成立，則稱是一個“特征函數”．下列結論中正確的個數為（　　）

①是常數函數中唯一的“特征函數”；

②不是“特征函數”；

③“特征函數”至少有一個零點；

④是一個“特征函數”．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用新定義“特征函數”，對選項逐個進行判定，即可求解，得到答案．

對于①中，設，當時，函數是一個“特征函數”，

所以不是唯一的一個常值的“特征函數”，所以①不正確；

對于②中，函數，

則，即，

當時，，

當時，方程由唯一的解，

所以不存在常數使得對任意實數都成立，

所以函數不是“特征函數”，所以②正確．

對于③中，令，可得，所以，

若，顯然有實數根，若，，

又因為的函數圖象是連續的，所以在上必由實數根，

因此任意的“特征函數”必有實根，即任意“特征函數”至少有一個零點，

所以③是正確；

對于④中，假設是一個“特征函數”，則對任意的實數成立，

則有，而此式有解，所以是“特征函數”，所以④正確的，

所以正確命題共有②③④．

故選：C．