Question

若實數a，b，c，d滿足︱b+a²-3lna︱+（c-d+2）²=0,則（a-c）²+（b-d）²的最小值為       .

Answer 1

8

解析∵實數a、b、c、d滿足：（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，∴b+a²-3lna=0，c-d+2=0，設b=y，a=x，則y=3lnx-x²，設c=x，d=y，則y=x+2，

∴（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=3lnx-x²與直線y=x+2之間的最小距離的平方值.對曲線y=3lnx-x²求導：y'（x）=，與y=x+2平行的切線斜率k=1=，解得x=1或x=-（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得y=－1，即切點為（1，-1）切點到直線y=x+2的距離：
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8．
考點：導數在最大值、最小值問題中的應用．