Question

【題目】設a∈R，函數f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若a=2，求函數f（x）在區間[0，3]上的最大值；
（2）若a＞2，寫出函數f（x）的單調區間（不必證明）；
（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2，x∈[0，3]時，

作函數圖象，

可知函數f（x）在區間[0，3]上是增函數．

所以f（x）在區間[0，3]上的最大值為f（3）=9

（2）解：

①當x≥a時， ．

因為a＞2，所以 ．

所以f（x）在[a，+∞）上單調遞增．

②當x＜a時， ．

因為a＞2，所以 ．

所以f（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減．

綜上所述，函數f（x）的遞增區間是 和[a，+∞），遞減區間是[ ，a]

（3）解：①當﹣2≤a≤2時， ， ，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數，關于x的方程f（x）=t﹣f（a）不可能有三個不相等的實數解．

②當2＜a≤4時，由（1）知f（x）在 和[a，+∞）上分別是增函數，在 上是減函數，

當且僅當 時，方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數解．

即 ．

令 ，g（a）在a∈（2，4]時是增函數，

故g（a）max=5．

∴實數t的取值范圍是 ．

【解析】（1）通過圖象直接得出，（2）將x分區間進行討論，去絕對值寫出解析式，求出單調區間，（3）將a分區間討論，求出單調區間解出即可．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數的最值及其幾何意義，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲担焕�用圖象求函數的最大（�。┲担焕�用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲挡拍艿贸稣�確答案．