Question

【題目】設函數f（x）滿足：
①對任意實數m，n都有f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）f（n）；
②對任意m∈R，都有f（1+m）=f（1﹣m）恒成立；
③f（x）不恒為0，且當0＜x＜1時，f（x）＜1．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性，并給出你的證明；
（3）定義：“若存在非零常數T，使得對函數g（x）定義域中的任意一個x，均有g（x+T）=g（x），則稱g（x）為以T為周期的周期函數”．試證明：函數f（x）為周期函數，并求出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于f（x）不恒為0，故存在x0，使f（x0）≠0，令m=x0，n=0，

則f（x0）+f（0）=2f（x0）f（0），∴f（0）=1，

令m=n=1f（2）+f（0）=2f2（1），

由f（1+m）=f（1﹣m）并令m=1得：f（2）=f（0），

結合以上結果可得f2（1）=1，

又令 （因為 ），

∴f（1）＜1，故f（1）=﹣1

（2）解：f（x）為偶函數．

證明如下：

令m=0，n=x，得：f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x），以及有f（0）=1，

即有f（﹣x）=f（x），即有f（x）為偶函數

（3）證明：由f（1+m）=f（1﹣m），并取1+m=﹣x，得f（﹣x）=f（2+x），又f（x）為偶函數，

則f（x+2）=f（x），即f（x）是以2為周期的周期函數；

令 ，

再令m= ，n= ．

而 ，解得， ，

由f（1+m）=f（1﹣m）得， ，

∴ ，

又由于f（x）是以2為周期的周期函數，

∴

【解析】（1）在等式f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）f（n）中，令m=x0 ， n=0，即可求得f（0）=1，結合f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）f（n）、f（1+m）=f（1﹣m）、f（x）不恒為0，且當0＜x＜1時，f（x）＜1即可求得f（1）的值；（2）在f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）f（n）中，取m=0，n=x，以及有f（0）=1，可得函數f（x）為偶函數；（3）由f（1+m）=f（1﹣m），并取1+m=﹣x，得f（﹣x）=f（2+x），又f（x）為偶函數，可得f（x+2）=f（x），即f（x）是以2為周期的周期函數；
在f（m+n）+f（m﹣n）=2f（m）f（n）中，取 ，取m= ，n= 得到兩個關于f（ ）和f（ ）的方程組，求出f（ ）和f（ ），再由函數的周期性求得 的值．