Question

【題目】已知函數的圖象過點．

（1）求的值并求函數的值域；

（2）若關于的方程有實根，求實數的取值范圍；

（3）若為偶函數，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）函數圖象過，代入計算可求出的值，結合對數函數的性質可求出函數的值域；（2）構造函數，求出它在上的值域，即可求出的取值范圍；（3）利用偶函數的性質，即可求出。

（1）因為函數圖象過點，所以，解得.

則，

因為，所以，

所以函數的值域為.

（2）方程有實根，即，有實根，

構造函數，

則，

因為函數在R上單調遞減，而在（0，）上單調遞增，

所以復合函數是R上單調遞減函數。

所以在上，最小值為，最大值為，即，

所以當時，方程有實根。

（3），是R上的偶函數，

則滿足，

即恒成立，

則恒成立，

則恒成立，

即恒成立，

故，則恒成立，

所以.