Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C， AB=3，BC=5.

（1）求證：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）求點C到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接轉化成平面ABC⊥平面AA1C1C. (2)利用空間向量法求二面角A1-BC1-B1的余弦值. (3)利用空間向量法求點C到平面的距離.

試題解析：

證明：（1）因為為正方形，所以.

因為平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C ，所以⊥平面ABC.

（2）由（1）知， ⊥AC, ⊥AB.

由題意知，所以.

如圖，以A為原點建立空間直角坐標系,則.

設平面的法向量為，則即

令，則，所以.

同理可得，平面的法向量為.

所以.

由題知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為.

（3）由（2）知平面的法向量為，

所以點C到平面距離.