Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的普通方程為x﹣y﹣2=0，曲線C的參數方程為 （θ為參數），設直線l與曲線C交于A，B兩點．若點P在曲線C上運動，當△PAB的面積最大時，求點P的坐標及△PAB的最大面積．

Answer 1

【答案】解：∵曲線C的參數方程為 （θ為參數），

∴曲線C的普通方程為 =1，

聯立 ，解得 或 ，

∴A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|= =3 ，

△PAB的面積最大，即點P到直線l的距離d最大，

設P（ ，sinθ），則d= = ，

當cos（ ）=﹣1，即 ，k∈Z時，

=3 ，

∴△PAB的最大面積S= = =9．

此時P（﹣3， ）．

【解析】先將曲線C的參數方程化為普通方程，聯立曲線C的方程和直線l的方程可解得A，B的坐標，進而可得|AB|，再設P的坐標，計算點P到直線l的距離d，利用輔助角公式和三角函數的性質可得d的最大值，從而可得△PAB的最大面積及點P的坐標．