Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，
即 b=1，
∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
設x1＜x2則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ =
因為函數y=2x在R上是增函數且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）= ＞0
即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數
（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數，又因為f（x）是奇函數，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因為f（x）為減函數，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2 ．
即對一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
從而判別式 ．
所以k的取值范圍是k＜﹣
【解析】（Ⅰ）利用奇函數定義f（x）=﹣f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；（Ⅱ）設x1＜x2然后確定f（x1）﹣f（x2）的符號，根據單調函數的定義得到函數f（x）的單調性；（III）結合單調性和奇函數的性質把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數奇偶性的性質和二次函數的性質，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減即可以解答此題．