Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝nan+n（n﹣1），且a5是a2和a6的等比中項．

（Ⅰ）證明：數列{an}是等差數列并求其通項公式；

（Ⅱ）設，求數列{bn}的前n項和．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝13﹣2n； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）將n換為n+1，相減，運用數列的遞推式和等差數列的定義和通項公式，以及等比數列中項性質，可得首項和公差，進而得到所求通項；

（Ⅱ）求得（），由數列的裂項相消求和，化簡可得所求和．

（Ⅰ）Sn＝nan+n（n﹣1），

可得Sn+1＝（n+1）an+1+n（n+1），

相減可得Sn+1﹣Sn＝（n+1）an+1﹣nan+n（n+1）﹣n（n﹣1），

化簡an+1＝（n+1）an+1﹣nan+2n，

即為nan+1﹣nan＝﹣2n，

即有an+1﹣an＝﹣2，

則數列{an}是公差d為﹣2的等差數列，

a5是a2和a6的等比中項，可得，

即（a1﹣8）2＝（a1﹣2）（a1﹣10），解得a1＝11，則an＝11﹣2（n﹣1）＝13﹣2n；

（Ⅱ）（），

則數列{bn}的前n項和為（）

（）．