Question

【題目】已知圓心C在直線上的圓過兩點，.

（1）求圓C的方程；

（2）若直線與圓C相交于A，B兩點，①當時，求AB的方程；②在y軸上是否存在定點M，使，若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析，

【解析】

（1）設圓的方程為，根據已知條件列出方程組，解方程組即得；（2）①直線與圓相交于A，B兩點，AB的長度和圓的半徑已知，則可知圓心到直線的距離，再由點到直線的距離公式，可解得直線斜率k，即得直線方程；②設，，三點的坐標，根據題意可知直線MA、MB的斜率存在，設斜率分別為，，將與圓的方程聯立消去y，可得關于x的一元二次方程，用A，B，M的坐標表示，，出若，則有，根據韋達定理將轉化為含有k和m的式子，可知點M存在，并求出點M的坐標。

解：（1）設圓C的方程為，

則有

解之得，

所以，圓C的方程為.

（2）①當時，圓心C到直線AB的距離，

又，

∴，

解得，

所以AB的方程是：或.

②設、、，

由題意知直線MA、MB的斜率存在，分別記為、，

把代入，

整理得，

于是，，，

∴

，

當且僅當時，對任意的k均有，即有.

所以，存在點滿足要求.