Question

【題目】設圓x2+y2=2的切線l與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于點A、B，當|AB|取最小值時，切線l的方程為 ．

Answer 1

【答案】x+y﹣2=0
【解析】解：設A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，則切線的方程為 ，|AB|= ．

又圓x2+y2=2的圓心坐標為（0，0），半徑r= ，

由圓心到直線的距離d= =r= ，可得 + = ．

則|AB|2=（a2+b2）2[ + ]=2（1+ + +1）≥2（2+2）=8，

當且僅當a=b=2時，等號成立．

故當|AB|取最小值時，切線l的方程為 ，即 x+y﹣2=0，

故答案為：x+y﹣2=0．

根據圓的切線與x軸，y軸交點分別為A和B，設出兩點的坐標，進而得出切線的截距式方程，且根據勾股定理表示出|AB|，由直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設切線的距離d，使d等于圓的半徑r，化簡可得a與b的關系式，利用此關系式把|AB|2進行變形，利用基本不等式求出|AB|2的最小值，且得到取最小值時a與b的值，把此時a與b的值代入所設的方程中，即可確定出切線的方程．