Question

【題目】已知函數，g（x）＝b（x﹣1），其中a≠0，b≠0

（1）若a＝b，討論F（x）＝f（x）﹣g（x）的單調區間；

（2）已知函數f（x）的曲線與函數g（x）的曲線有兩個交點，設兩個交點的橫坐標分別為x1，x2，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求導得，按照a＞0、 a＜0討論的正負即可得解；

（2）設x1＞x2，轉化條件得，令，，只需證明即可得證.

（1）由已知得，

∴，

當0＜x＜1時，∵1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，∴1﹣x2﹣lnx＞0，；

當x＞1時，∵1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，∴1﹣x2﹣lnx＜0．

故若a＞0，F（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；

故若a＜0，F（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．

（2）不妨設x1＞x2，依題意，

∴，同理得

由①﹣②得，∴，

∴，

∴，

故只需證，

取∴，即只需證明，成立，

即只需證，成立，

∵，

∴p（t）在區間[1，+∞）上單調遞增，

∴p（t）＞p（1）＝0，t＞1成立，

故原命題得證．