Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，均為等邊三角形，，．

（Ⅰ）過作截面與線段交于點，使得平面，試確定點的位置，并予以證明；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）為線段的中點，證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中點，連結，，可得，，，且．可得，從而面，即面面．

（Ⅱ）連結交于，則為的中點，連結，當面時，，所以是中點．由（1）知，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，利用向量求解．

解：（Ⅰ）取中點，連結，，

是邊長為2的正三角形，，，

又，，且．

于是，從而．

面，面，

所以面，而面，所以面面．

（Ⅱ）連結交于，則為的中點，連結，當面時，，所以是中點．

由（Ⅰ）知，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，， ， ，，

，．

設面的法向量為，由，取．

面的法向量是，

，，

．

二面角是鈍角，二面角的余弦值為．