Question

【題目】在①，②（），③（）這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的k存在，求出k的值；若k不存在，說明理由.已知數列為等比數列，，，數列的首項，其前n項和為，______，是否存在，使得對任意，恒成立？

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由數列為等比數列可得，①通過，整理可得，進而可求出數列的通項公式，求出，利用單調性可判斷；②由可得數列為等比數列，求出數列的通項公式，求出，利用單調性可判斷；③由知數列是等差數列，求出數列的通項公式，求出，利用作差法求最大項即可判斷..

設等比數列的公比為q，因為，所以，

所以，

故.

若選擇①，則，則（），兩式相減整理得（），又，

所以是首項為1，公比為2的等比數列，所以

所以

由指數函數的性質知，數列單調遞增，沒有最大值，

所以不存在，使得對任意，恒成立.

若選擇②，則由（），，知數列是首項為1，公比為的等比數列，

所以

所以

因為.當且僅當時取得最大值.

所以存在，使得對任意，恒成立.

若選擇③，則由（）知數列是公差為2的等差數列.

又，所以.

設，

則

所以當時，，當時，.

即

所以存在，使得對任意，恒成立.