Question

【題目】已知函數在區間上的最大值為，最小值為，記

（1）求實數、的值；

（2）若不等式成立，求實數的取值范圍；

（3）對于任意滿足的自變量，，，，，，如果存在一個常數，使得定義在區間上的一個函數，有恒成立，則稱為區間上的有界變差函數，試判斷是否區間上的有界變差函數，若是，求出的最小值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）是有界變差函數;的最小值為

【解析】

（1）由的對稱軸得在區間[上是增函數，得方程組求出，即可；（2）由（1）求出的表達式，解不等式求出即可；（3）由的表達式得為上的單調遞增函數，根據有界變差函數的概念判斷即可.

（1），

又，在區間上是增函數，

故，，

解得：，.

（2）由（1）得：，

故是偶函數，

不等式可化為，

解得：.

（3），

為上單調遞減，上的單調遞增函數，

則對于任意滿足的自變量，，，，，

有

，

存在常數，使得.

函數為區間上的有界變差函數.即的最小值為.