Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在處切線的斜率為，判斷函數的單調性；

（2）若函數有兩個零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）.

【解析】

（1）對求導，根據導數的幾何意義代入，可求得切線的斜率，進而可得a的值；分別判斷當、時，的正負，即可判斷的單調性；

（2）當時，由得或，分別求出、和時，的單調性，并求出極值個數；當時，由得，判斷的單調性，可得，又時，，時，，綜合分析，即可得答案.

（1）由題，

則，得，

此時，由得.

則時，，為增函數；時，，為增函數，且，所以為R上的增函數.

（2）①當時，由得或，

若，由（1）知，為R上的增函數.

由，，

所以只有一個零點，不符合題意.

若，則時，，為增函數；時，，為減函數；時，，為增函數.

而，故最多只有一個零點，不符合題意.

若時，則時，，為增函數；時，，為減函數；時，，為增函數.

得，故最多只有一個零點，不符合題意.

②當時，由得，

由得，為減函數，由得，為增函數，

則.又,

，

所以當時，始終有兩個零點.

綜上所述，a的取值范圍是