Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，分別為的中點.

（1）求證：平面；

（2）若截面與底面所成銳二面角為，求的長度.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接，通過中位線證得，且，又證得，從而可證明四邊形是平行四邊形，則，利用線面平行的判定定理可證得平面；

（2）分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法表示出截面與底面所成銳二面角的余弦值，建立方程，從而求出的長.

（1）證明：取的中點，連接，

是的中點，

，且.

∵底面為直角梯形，，

，

，

，且.

∴四邊形是平行四邊形，.

又平面平面，

平面.

（2）解：如圖，分別以所在直線為軸、軸、軸

建立空間直角坐標系，設，

則

，

取平面的一個法向量為. ，

設平面的法向量為，

則有

即

不妨取，則，即， ，

解得，即的長為4.