【題目】如圖，四棱臺
中，底面
是菱形，
底面，且
60°，
，
是棱
的中點.
（1）求證：
；
（2）求直線
與平面
所成線面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）由
底面
，得
，再由底面是菱形，得
，利用直線與平面垂直的判定可得
平面
，進一步得到
；
（2）設
交
于點
，依題意，
且
，得到
底面．以為原點，
、
、
所在直線分別為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系．求出平面
的一個法向量與
的坐標，再由兩向量所成角的余弦值求解直線
與平面
所成線面角的正弦值．
（1）因為
底面，所以
因為底面是菱形，所以
又
，所以平面
又由四棱臺
知，
，
，
，
四點共面
所以
（2）如圖，設交于點，依題意，且，
，且
，
又由已知底面，得底面．
以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖
設交于點，依題意，
且
，所以
則
，
，
，
，
由
，得
因為
是棱
中點，所以
所以
，
，
設
為平面的法向量
則
，取
，得
設直線與平面所成線面角為
，則
所以直線與平面所成線面角的正弦值
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對n個不同的實數a1，a2，…，an可得n！個不同的排列，每個排列為一行寫成一個n！行的數陣.對第i行ai1，ai2，…，ain，記bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－1)nnain，i=1，2，3…，n！.例如用1，2，3可得數陣如圖，對于此數陣中每一列各數之和都是12，所以bl+b2+…b6=－12+2×12－3×12=－24.那么，在用1，2，3，4，5形成的數陣中，b1+b2+…b120等于（ ）
A.－3600B.－1800C.－1080D.－720
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠為提高生產效率，需引進一條新的生產線投入生產，現有兩條生產線可供選擇，生產線①：有A，B兩道獨立運行的生產工序，且兩道工序出現故障的概率依次是0.01，0.05.若兩道工序都沒有出現故障，則生產成本為16萬元；若A工序出現故障，則生產成本增加2萬元；若B工序出現故障，則生產成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現故障，則生產成本增加5萬元.生產線②：有a，b兩道獨立運行的生產工序，且兩道工序出現故障的概率依次是0.04，0.02.若兩道工序都沒有出現故障，則生產成本為15萬元；若a工序出現故障，則生產成本增加8萬元；若b工序出現故障，則生產成本增加5萬元；若a，b兩道工序都出現故障，則生產成本增加13萬元.
（1）若選擇生產線②，求生產成本恰好為20萬元的概率；
（2）為最大限度節約生產成本，你會給工廠建議選擇哪條生產線？請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢嚴峻，避免外出是減少相互交叉感染最有效的方式．在家中適當鍛煉，合理休息，能夠提高自身免疫力，抵抗該種病毒．某小區為了調查“宅”家居民的運動情況，從該小區隨機抽取了100位成年人，記錄了他們某天的鍛煉時間，其頻率分布直方圖如下：
（1）求a的值，并估計這100位居民鍛煉時間的平均值
（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
（2）小張是該小區的一位居民，他記錄了自己“宅”家7天的鍛煉時長：
序號n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
鍛煉時長m（單位：分鐘） | 10 | 15 | 12 | 20 | 30 | 25 | 35 |
（Ⅰ）根據數據求m關于n的線性回歸方程；
（Ⅱ）若
（是（1）中的平均值），則當天被稱為“有效運動日”．估計小張“宅”家第8天是否是“有效運動日”？
附；在線性回歸方程
中，
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，過點的直線
交拋物線于
、
兩點，以線段
為直徑的圓交
軸于
、
兩點，設線段的中點為
，則（ ）
A.
B.若
，則直線的斜率為
C.若拋物線上存在一點
到焦點的距離等于
，則拋物線的方程為
D.若點到拋物線準線的距離為
，則
的最小值為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于無窮數列
的某一項
，若存在
，有
成立，則稱具有性質
.
（1）設
，若對任意的
，都具有性質，求
的最小值；
（2）設等差數列的首項
，公差為
，前
項和為
，若對任意的數列
中的項
都具有性質
，求實數的取值范圍；
（3）設數列的首項
，當
時，存在
滿足
，且此數列中恰有一項
不具有性質
，求此數列的前
項和的最大值和最小值以及取得最值時對應的
的值.
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