Question

【題目】已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，線段的中點的橫坐標為，.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點，過點作直線交拋物線于、兩點，求的最大值，并求取得最大值時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當直線的方程為時，取最大值.

【解析】

（1）設點、，可得出，利用焦點弦長公式可求得的值，進而可得出拋物線的方程；

（2）設點、，設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，利用平面向量數量積公式將表示為以為自變量的函數，利用二次函數的基本性質可求得的最大值及其對應的直線的方程.

（1）設點、，由于線段的中點的橫坐標為，則，

由拋物線的焦點弦長公式得，解得.

因此，拋物線的方程為；

（2）設點、，設直線的方程為，

聯立，消去并整理得.

由韋達定理得，.

，同理可得，

.

當時，取最大值，此時，直線的方程為.