Question

【題目】設點，分別是橢圓:的左、右焦點，且橢圓上的點到點的距離的最小值為.點M、N是橢圓上位于軸上方的兩點，且向量與向量平行.

（1）求橢圓的方程；

（2）當時，求△的面積；

（3）當時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據橢圓的簡單性質可得，解得即可，

（2）可設，，根據向量的數量積求出點的坐標，再根據直線平行，求出的坐標，

利用兩點間的距離公式和點到直線的距離公式和三角形的面積公式計算即可，

（3）向量與向量平行，不妨設，設，，，，根據坐標之間的關系，求得的坐標，再根據向量的模，即可求出的值，根據斜率公式求出直線的斜率，根據直線平行和點斜式即可求出直線方程．

解：（1）點、分別是橢圓的左、右焦點，

，，

橢圓上的點到點的距離的最小值為，

，

解得，

橢圓的方程為，

（2）由（1）可得，，

點、是橢圓上位于軸上方的兩點，

可設，，

，，，，

，

，

解得，，

，

，

，

向量與向量平行，

直線的斜率為，

直線方程為，

聯立方程組，解得，（舍去），或，，

，，

，

點到直線直線的距離為，

的面積，

（3）向量與向量平行，

，

，

，即，

設，，，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

解得，或（舍去）

，

，

，

，

直線的方程為，

即為