Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點為平面上一動點，到直線的距離為，.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）不過原點的直線與交于兩點，線段的中點為，直線與直線交點的縱坐標為1，求面積的最大值及此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）面積的最大值為，此時直線的方程為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）直接法求動點軌跡方程,先設動點坐標,再兩點間距離公式及點到直線距離公式將條件用坐標表示,化簡整理成橢圓標準方程;（Ⅱ）涉及弦中點問題,一般利用點差法求弦中點坐標與直線斜率的關系,本題由于弦中點與原點連線的斜率已知,所以可得弦所在直線斜率 .根據直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理、弦長公式可得三角形底邊長（用直線在 軸上截距表示），再根據點到直線距離公式可得高（用直線在 軸上截距表示），利用三角形面積公式可得面積關于直線在 軸上截距的函數關系式，最后根據基本不等式求最值，確定直線在 軸上截距，可得直線方程.

試題解析：解：（Ⅰ）由題意：，

又，即，

化簡整理得：

所求曲線的方程為.

（Ⅱ）易得直線的方程：,設.其中

∵在橢圓上，

，所以，

∴設直線的方程為：.

聯立：.整理得.

∵直線與橢圓有兩個不同的交點且不過原點，

∴，解得：且

由韋達定理:

∴

.

∵點到直線的距離為：.

∴.

當且僅當即時等號成立，滿足（*）式

所以面積的最大值為，此時直線的方程為.