Question

【題目】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中, D為AB的中點.

（Ⅰ）求證：CD平面ABB1A1；

（Ⅱ）求證：BC1∥平面A1CD.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析.

(2) 證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）通過線面垂直的性質，可以利用CD垂直AB，CD垂直AA1來證明CD垂直平面ABB1A1。（Ⅱ）通過利用中線定理，可以得到BC1 //OD，又由線面平行的判斷可以推出，B C1// 平面 A 1C D.

詳解：(Ⅰ)因為正三棱柱 ABC-A1B1C1， D為 AB的中點，

所以 CD⊥AB， AA1⊥底面 ABC.又因為 CD底面 ABC，

所以 AA1⊥CD.

又因為 AA1AB=A,AB平面 ABB1A1， AA1平面 ABB1A1，

所以 CD⊥平面 ABB1A1.

(Ⅱ)連接 AC1，設 A1CAC1=O，連接 OD，

由正三棱柱 ABC-A1B1C1，得 AO=OC1，

又因為在 ABC-A1B1C1中，AD=DB ，

所以 OD//BC1

又因為BC1平面 A1CD， OD平面 A1CD，

所以 BC1//平面 A1CD.