Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，⊥，△和△是兩個邊長為2的正三角形，．

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）證明：易得，又，計算可得 ，又平面平面平面；（2）解：由（1）知平面，又建立坐標系求得：平面的法向量為，又平面的一個法向量為二面角的余弦值為．

試題解析：（1）證明：設是的中點，連接，

∵和是兩個邊長為的正三角形，∴，

又，∴，

∵，

∴在中，由勾股定理可得，，

∴，

在中，由勾股定理可得，

在中，．

在中，，由勾股定理的逆定理可得，

又∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面．

（2）解：由（1）知平面，又．

∴過分別作，的平行線，以它們作，軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

由已知得：，，，，，

則，，

設平面的法向量為，

則即解得令，

則平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，

則，

∴二面角的余弦值為．