Question

【題目】拋物線M:的焦點為F，過焦點F的直線l(與x軸不垂直)交拋物線M于點A，B，A關于x軸的對稱點為.

(1)求證:直線過定點，并求出這個定點；

(2)若的垂直平分線交拋物線于C，D，四邊形外接圓圓心N的橫坐標為19，求直線AB和圓N的方程.

Answer 1

【答案】(1)見解析，定點；(2)直線AB:，圓N:

【解析】

(1)設直線AB:()，求出:，令即得定點坐標；

（2）求出,再分類討論，先求出CD方程為：，再根據線段CD是圓N的直徑，求出直線AB和圓N的方程.

(1)設直線AB:()，代入拋物線方程得:，

設，，則，

所以，，

從而:，令得:

，

所以直線過定點.

(2)由(1)知:，

且，

當時，

直線:，

設線段的中點為，則，

所以，所以，

從而CD:即，

上述方程代入得:(*)，

因為CD是的垂直平分線，所以線段CD是圓N的直徑，

所以，解得:.

所以直線AB:.此時CD:，時，

方程(*)化簡為:，求得，

圓N:；

當時，同理求得AB:，圓N:.

綜上，直線AB:，圓N:.