Question

【題目】已知拋物線C：（）的焦點F到準線l的距離為2，直線過點F且與拋物線交于M、N兩點，直線過坐標原點O及點M且與l交于點P，點Q在線段上.

(1)求直線的斜率；

(2)若，，成等差數列，求點Q的軌跡方程.

Answer 1

【答案】(1)0；(2)（）.

【解析】

(1)先求拋物線方程，再設直線方程以及M,N坐標，解得P點坐標，根據斜率公式化簡直線的斜率，最后聯立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理代入化簡即得結果；

(2) 設，根據等差中項性質以及弦長公式化簡條件得，再根據（1）中韋達定理化簡右邊式子，最后根據代入化簡得點Q的軌跡方程.

(1)依題意，可得，所以拋物線C：.

設直線：，聯立，得.

設，，易知，，則，，

直線：.

因為準線l：，故.

故直線的斜率為.

(2)設（）.

由(1)可得，，.

由題可知，

得.

因為，所以

化簡可得（）.

故點Q的軌跡方程為（）.