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【題目】已知函數，其中，e是自然對數的底數.

（1）若是上的增函數，求實數a的取值范圍；

（2）若，證明：.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由是上的增函數等價于恒成立，得，求的最大值，即可得到本題答案；

（2）由，證明當時，的最小值大于0，即可得到本題答案.

解：（1），是上的增函數等價于恒成立.

令，得，令.以下只需求的最大值.

求導得，令，，

是上的減函數，又，故1是的唯一零點，

當，，，遞增；

當，，，遞減；

故當時，取得極大值且為最大值，所以.

（2），令，

以下證明當時，的最小值大于0.

求導得.

①當時，，；

②當時，，令.

則，又，

取且使，即，則，

因為，故存在唯一零點，即有唯一的極值點且為極小值點，又，且，即，

故，因為，故是上的減函數.

所以，所以.

綜上，當時，總有.

練習冊系列答案
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【題目】已知拋物線C：（）的焦點F到準線l的距離為2，直線過點F且與拋物線交于M、N兩點，直線過坐標原點O及點M且與l交于點P，點Q在線段上.

(1)求直線的斜率；

(2)若，，成等差數列，求點Q的軌跡方程.

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【題目】某民航部門統計的2019年春運期間12個城市售出的往返機票的平均價格以及相比上年同期變化幅度的數據統計圖表如圖所示，根據圖表，下面敘述不正確的是( )

A. 同去年相比，深圳的變化幅度最小且廈門的平均價格有所上升

B. 天津的平均價格同去年相比漲幅最大且2019年北京的平均價格最高

C. 2019年平均價格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州

D. 同去年相比，平均價格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、南京

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種植園編號

A

B

C

D

E

F

種植園編號

G

H

I

J

K

L

（1）若有石榴種植園120個，估計等級為一級的石榴種植園的數量；

（2）在所取樣本的二級和三級石榴種植園中任取2個，表示取到三級石榴種植園的數量，求隨機變量的分布列及數學期望.

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【題目】已知動點P到點的距離與它到直線l：的距離d的比值為，設動點P形成的軌跡為曲線C.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）過點的直線與曲線C交于A，B兩點，設，，過A點作，垂足為，過B點作，垂足為，求的取值范圍.

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【題目】設，。

（1）求的單調區間；

（2）討論零點的個數；

（3）當時，設恒成立，求實數的取值范圍.

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【題目】已知橢圓經過點，離心率為，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍；

（3）設直線和的斜率分別為和，求證:為定值.

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【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在上的最小值；

（2）若，求證：．

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【題目】已知函數，為自然對數的底數.

（1）當時，證明，，；

（2）若函數在上存在極值點，求實數的取值范圍.

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