Question

【題目】如圖1，平面五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是邊長為2的正三角形．現將△ADE沿AD折起，得到四棱錐E﹣ABCD（如圖2），且DE⊥AB．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成銳二面角的大小；
（Ⅲ）在棱AE上是否存在點F，使得DF∥平面BCE？若存在，求 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：由已知得AB⊥AD，AB⊥DE．
因為AD∩DE=D，所以AB⊥平面ADE．
又AB平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD
（Ⅱ）解：設AD的中點為O，連接EO．
因為△ADE是正三角形，所以EA=ED，所以EO⊥AD．
因為 平面ADE⊥平面ABCD，
平面ADE∩平面ABCD=AD，EO平面ADE，
所以EO⊥平面ABCD．
以O為原點，OA所在的直線為x軸，在平面ABCD內過O 垂直于AD的直線為y軸，OE所在的直線為z軸，
建立空間直角坐標系O﹣xyz，如圖所示．

由已知，得E（0，0， ），B（1，2，0），C（﹣1，1，0）．
所以 =（1，﹣1， ）， =（2，1，0）．
設平面BCE的法向量 =（x，y，z）．
則 ，
令x=1，則 =（1，﹣2，﹣ ）．
又平面ADE的一個法向量 =（0，1，0），
所以cos＜ ＞= =﹣ ．
所以平面BCE和平面ADE所成的銳二面角大小為 ．
（Ⅲ）在棱AE上存在點F，使得DF∥平面BCE，此時 ．
理由如下：
設BE的中點為G，連接CG，FG，
則FG∥AB，FG= ．
因為AB∥CD，且 ，所以FG∥CD，且FG=CD，
所以四邊形CDFG是平行四邊形，所以DF∥CG．
因為CG平面BCE，且DF平面BCE，
所以DF∥平面BCE
【解析】（Ⅰ）推導出AB⊥AD，AB⊥DE，從而AB⊥平面ADE，由此能平面ADE⊥平面ABCD．（Ⅱ）設AD的中點為O，連接EO，推導出EO⊥AD，從而EO⊥平面ABCD．以O為原點，OA所在的直線為x軸，在平面ABCD內過O 垂直于AD的直線為y軸，OE所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的銳二面角大�。�（Ⅲ）設BE的中點為G，連接CG，FG，推導出四邊形CDFG是平行四邊形，從而DF∥CG．由此能求出在棱AE上存在點F，使得DF∥平面BCE，此時 ．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．