Question

【題目】已知函數.其中.

（1）討論函數的單調性；

（2）函數在處存在極值－1，且時，恒成立，求實數的最大整數.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增;當時，在上單調遞減，在上單調遞增（2）的最大整數為0.

【解析】

（1）求導，分，討論的正負值，即函數的單調性；

（2）先通過函數在處存在極值－1，可求出，將恒成立，轉化為，令，利用導數求的最小值.

解：（1），

當時，，在上單調遞增；

當時，，，

則時，，在上單調遞減；

時，，在上單調遞增；

綜上，當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）函數在處存在極值－1，

由（1）知，且，，

所以，，

則；

因為，，

所以時，單調遞減；時，單調遞增，

則在處存在極值滿足題意；

由題意恒成立，即，對恒成立，

即：，設，只需，

因為，

又令，，

所以在上單調遞增，

因為，.

知存在使得，

即，

且在上，，，單調遞減，

在上，，，單調遞增，

所以，，即，

∴，

又，

知，所以的最大整數為0.