Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，平面，且，設，分別為，的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用線面平行的性質定理即可得到結論；

（2）方法一：利用幾何法求線面角，一作，二證，三求解；方法二：利用空間直角坐標系，線面角的向量關系即可得到結論.

（1）解析：因為底面為平行四邊形，是中點，所以是中點，所以，平面，平面，所以平面.

（2）解析1：（幾何法）

因為平面，平面平面，

所以直線與平面的交點即為與的交點，設為，

，所以為等邊三角形，取中點，

則，因為平面，所以平面平面，

平面平面，，所以平面，

所以是直線與平面所成角，

因為，分別為，的中點，所以是的重心，

在中，，所以，在平行四邊形中，，

在中，，

在中，，所以，

所以，又因為，

所以，即直線與平面所成角的正弦值為.

解析2：（向量法）

取中點，則，因為平面，

所以平面，

因為，所以為等邊三角形，

所以，此時，，兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標系，，，

在中，，所以，由，得，

所以，平面的法向量為，

所以，

所以，

即直線與平面所成角的正弦值為.