Question

【題目】已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，焦距是實軸長的倍且過點（4，﹣）

（1）求雙曲線方程；

（2）若點M（3，m）在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上；

（3）在（2）條件下，若M F2交雙曲線另一點N，求△F1MN的面積.

Answer 1

【答案】（1）x2﹣y2=6；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）求出離心率e，故可等軸設雙曲線的方程為x2﹣y2=λ（λ≠2），過點（4，﹣），可得16﹣10=λ，即可求雙曲線方程；

（2）求出向量坐標，利用向量的數量積公式，即可證明結論.

（3）利用M與F2可得直線方程，求出N的縱坐標，然后求解三角形的面積.

（1）∵焦距是實軸長的倍，

∴e=，故可等軸設雙曲線的方程為x2﹣y2=λ（λ≠2），

∵過點（4，﹣），∴16﹣10=λ，

∴λ=6.

∴雙曲線方程為x2﹣y2=6.

（2）證明：由（1）可知：在雙曲線中，a=b=，∴c=2.

∴F1（﹣2，0），F2（2，0）.

∴=（﹣2﹣3，﹣m），

=（2﹣3，﹣m）.

∴=+m2=﹣3+m2.

∵M點在雙曲線上，∴9﹣m2=6，∴m2=3.

∴，

∴點M在以F1F2為直徑的圓上；

（3）由（2）不妨M（3，），F2（2，0），直線M F2的方程為：y=（﹣2﹣）（x﹣2），代入雙曲線方程可得：

消去x可得：（6﹣4）y2﹣4（2﹣）y+6=0，

因為M的縱坐標為，

所以N的縱坐標為： ，

解得y2=﹣（2+），

△F1MN的面積為： =12+4.