Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知雙曲線：.

（1）設是的左焦點，是右支上一點.若，求點的坐標；

（2）設斜率為1的直線交于、兩點，若與圓相切，求證：；

（3）設橢圓：.若、分別是、上的動點，且，求證：到直線的距離是定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）利用，建立方程，即可求點的坐標.

（2）設直線的方程為，通過直線與已知圓相切，得到，通過求解.證明.

（3）當直線垂直軸時，直接求出到直線的距離為.當直線不垂直軸時，設直線的方程為：，（顯然），推出直線的方程為，求出，，設到直線的距離為，通過，求出.推出到直線的距離是定值.

（1）左焦點.

設，則，

由是右支上一點，知，所以，得.

所以.

（2）證明：設直線的方程是.因直線與已知圓相切，

故，即.

由與雙曲線：聯立，得，

設，，則，，

又.

所以

.

故.

（3）當直線垂直于軸時，

，，則到直線的距離為.

當直線不垂直于軸時，

設直線的方程為（顯然），則直線的方程為.

由與橢圓方程聯立，得，，所以.

同理.

設到直線的距離為，因為，

所以，即.

綜上，到直線的距離是定值.